Декартова система координат: основные понятия и примеры

Километровая сетка. Вопрос №5 Координатная (километровая) сетка на картах

1. Определение географических и прямоугольных координат

Система координат представляет собой совокупность линий и плоскостей, ориентированных определенным образом в пространстве, относительно которых определяют положение точек (объектов, целей). Линии, принятые за начальные, служат осями координат

, а плоскости –координатными плоскостями . Угловые и линейные величины, которыми определяется в той или иной системе координат положение точек на линии, поверхности или в пространстве, называютсякоординатами .

В науке, технике, архитектуре, военном деле существуют различные системы координат. В каждом конкретном случае применяются системы координат, которые наилучшим образом отвечают требованиям к определению положения объектов.

Положение точек на поверхности Земли в зависимости от характера решаемых задач и требуемой точности чаще всего определяют в системах географических, плоских прямоугольных, полярных и биполярных координат. Пространственное положение точек в каждой системе координат дополнительно определяется высотой этих точек над уровенной поверхностью, принятой за начальную.

Указанные выше системы координат широко применяются в военной топографии. Они позволяют сравнительно просто и однозначно определять с необходимой точностью положения точек (объектов, целей) на земной поверхности по результатам измерений, выполненных непосредственно на местности или по карте.

Системой географических координат

называется система, в которой положение точки на земной поверхности определяется угловыми величинами (широтой и долготой) относительно плоскостей экватора и начального (нулевого) меридиана. В России и в большинстве других государств за начальный принят Гринвичский меридиан. Таким образом, система географических координат является единой для всей поверхности Земли. Она позволяет определять взаимное положение объектов, расположенных на значительных расстояниях друг от друга. В военном деле эта система используется преимущественно при применении боевых средств дальнего действия (баллистических ракет, авиации и др.). При решении тактических задач использование этой системы ограничено неудобствами работы с координатами, выраженными в градусах, минутах и секундах.

Географические координаты (широта и долгота)

точек на земной поверхности, определенные по результатам наблюдений небесных светил, называютсяастрономиическими координатами , а по результатам геодезических измерений на местности –геодезическими координатами . При определении астрономиических координат точка проектируется отвесной линией на поверхность геоида, а при определении геодезических координат – нормалью на поверхность земного эллипсоида. Вследствие неравномерного распределения массы Земли и отклонения поверхности геоида от поверхности земного эллипсоида отвесная линия в общем случае не совпадает с нормалью, что и показано на рисунке. Таким образом, географические координаты – обобщенное понятие об астрономических и геодезических координатах, когда уклонение отвесной линии не учитывается.

Астрономические координаты. Астрономической широтой

точки М называется уголф (фи), образованный отвесной линией в данной точке и плоскостью, перпендикулярной к оси вращения Земли.

Астрономической долготой

точки М называется двугранный угол∧ (лямда) между плоскостями астрономического меридиана данной точки и начального (нулевого) астрономического меридиана. Астрономический меридиан точки представляет собой след сечения земной поверхности плоскостью, проходящей через направление отвесной линии в этой точке параллельно оси вращения Земли.

Геодезические координаты.Геодезической широтой

точки А называется угол В, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора. Широта отсчитывается по меридиану в обе стороны от экватора и может принимать значения от 0 до 90°. Широты точек, расположенных к северу от экватора, называются северными (положительными), а к югу – южными (отрицательными).

Геодезической долготой

точки А называется двугранный угол L между плоскостями геодезического меридиана данной точки и начального (нулевого) геодезического меридиана. Плоскость геодезического меридиана проходит через нормаль к поверхности земного эллипсоида в данной точке параллельно его малой оси. Долготы точек отсчитываются от начального меридиана к востоку и западу и называются соответственно восточными и западными. Счет их ведется от 0 до 180° в каждую сторону.

Размеры листов топографической карты и сторон квадратов сетки на топографических картах.

В таблице показаны также размеры отдельных наиболее часто используемых листов карты. Границами листов карты являются меридианы и параллели. Базовым листом карты является лист в масштабе 1:1 000 000 (миллионка), имеющий протяжение по широте в 4 градуса и долготе в 6 градусов. Карты более крупных масштабов образуются из «миллионки» соответствующей нарезкой (разграфкой). Для того чтобы можно было легко и быстро находить нужные листы карты, каждый из них имеет свое условное обозначение

Следует обратить внимание, что направление линий сетки не совпадает с направлениями север — юг и восток — запад, хотя и близко к ним. Наибольшие отклонения наблюдаются у границ зоны, где они достигают 3 градусов

Отклонение направления истинного меридиана от вертикальной линии координатной сетки получило название сближения меридианов (Сб). Величина сближения меридианов зависит от местоположения точки на карте.

Определение прямоугольных координат точки на топографической карте.

В качестве примера рассмотрим определение координат точки, заданной на карте масштаба 1:100 000. На рисунке ниже приведен участок карты, расположенной в 7-й зоне с долготами от 36 до 42 градусов. По вертикали сетки приведены координаты линий сетки в километрах, мелкими цифрами первые (старшие) разряды, крупными последние (младшие).

Причем, чтобы не загромождать карту, мелкие (старшие) цифры могут не повторяться каждый раз, так как они всюду одинаковы. По горизонтали — то же самое, только первая цифра 7 — это номер зоны. Рассматривая топографические карты, можно заметить, что координатных сеток на ней две. Первая — это стандартная с географическими координатами, указанными лишь по краю карты, а вторая сетка — километровая с шагом 2 см (2 км). Прикладывая линейку к ближайшим линиям сетки, определяем смещение (в мм) внутри квадрата и переводим их в расстояние согласно масштабу.

По оцифровке линий сетки определяем их координаты. Суммируя найденные значения, определяем координаты точки: X = 409 080 м, Y = 6 200 450 м (номер зоны не включен). Более удобно производить измерения специальной шкалой, имеющей вертикальную и горизонтальную оси, проградуированные в соответствии с масштабом карты. Для этого необходимо наложить шкалу на карту таким образом, чтобы перекрестье осей совпало с объектом на карте, а оси были направлены параллельно сетке карты. Тогда нужные смещения считываются с обеих шкал в точках пересечения с сеткой карты.

Подобные шкалы, отдельно или с компасом, выпускаются в США, но для нас они бесполезны, так как наши карты выпускаются в других масштабах. Но такую шкалу можно сделать самостоятельно. Для этого ее надо распечатать на прозрачной пленке на принтере и приклеить к планшету компаса. Предлагаемый вариант сделан для компаса серии «Азимут», это жидкостный компас с прямоугольным планшетом, в середине которого расположена большая лупа. Шкала приклеивается скотчем с обратной стороны планшета строго под лупой. Приклеивать надо аккуратно по всему периметру, чтобы туда не проникала вода. Предпочтительно использовать широкий прозрачный скотч, перекрывающий всю поверхность, в этом случае лучше распечатать шкалу в зеркальном отображении.

Что можно сделать с определенными таким образом координатами данной точки?

Если в вашем GPS-навигаторе записана карта, то полученные координаты можно ввести в прибор, обозначить точку и затем отправиться в путь. Если же необходимо на бумажной карте отметить точку по определенным навигатором координатам, то это будет задачей, противоположной уже рассмотренной. Она решается аналогичным образом, только в обратном порядке. По старшим цифрам (тысячи метров) находится квадрат, а по остатку — смещение внутри квадрата.

Определение географических координат и нанесение на карту объектов по заданным координатам.

Географические координаты — угловые величины (широта и долгота), определяющие положение объектов на земной поверхности и на карте относительно экватора и меридиана, принятого за начальный. Их подразделяют на астрономические, полученные из астрономических наблюдений, и геодезические, полученные из геодезических измерений на земной поверхности.

Астрономические координаты определяют положение точек земной поверхности на поверхности геоида, куда они проектируются отвесными линиями; геодезические координаты определяют положение точек на поверхности земного эллипсоида, куда они проектируются нормалями к этой поверхности.

Расхождения между астрономическими и геодезическими координатами обусловлены уклонением отвесной линии от нормали к поверхности земного эллипсоида. Для большей части территории земного шара они не превышают 3-4″ или в линейной мере 100 м. Максимальное уклонение отвесной линии достигает 40″.

На топографических картах применяются геодезические координаты. На практике при работе с картами их обычно называют географическими.

Географические координаты какой-либо точки: М

— это ее широта В =

— и долгота L =.

Географическая широта — это угол, образованный плоскостью экватора и отвесной линией в данной точке земной поверхности. Величина угла показывает, насколько та или иная точка на земном шаре севернее или южнее экватора. Если точка расположена в Северном полушарии, то ее широта называется северной, а если в Южном полушарии южной

Долгота точки — это угол, образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку. За начальный принят меридиан, проходящий через астрономическую обсерваторию в Гринвиче (близ Лондона). Все точки на земном шаре, расположенные к востоку от начального (Гринвичского) меридиана до меридиана 180 5о 0, имеют восточную, а к западу — западную долготу.

Географическая (картографическая, градусная) сетка — изображение на карте линий параллелей и меридианов; используется для определения географических (геодезических) координат точек (объектов) и целеуказания. На топографических картах линии параллелей и меридианов являются внутренними рамками листов; их широта и долгота подписываются на углах каждого листа.

Для определения по карте географических координат точек местности на каждом ее листе наносится дополнительная рамка с делениями через одну минуту. Каждое минутное деление разбито точками на шесть равных отрезков через 10″. Чтобы определить географические координаты какой-либо точки, (например точки А) надо вначале на глаз определить ее положение относительно минутных и секундных делений по широте и долготе. Затем соединить ближайшие к точке А одноименные деления прямыми линиями по параллели (западная и восточная стороны рамки) и по меридиану (северная и южная стороны рамки карты). При этом проведенная параллель должна пройти южнее точки А, а меридиан — западнее.

После этого определить на глаз, каким частям десяти-секундных делений по широте и долготе соответствуют расстояния от проведенных параллели и меридиана до точки А. Определив величины этих отрезков в секундах и приплюсовав их к значениям координат проведенных параллели и меридиана, получим географические координаты точки А.

Для нанесения на карту точки по заданным географическим координатам, например точки С, имеющей широту и долготу, поступают следующим образом. На боковых сторонах минутной рамки от параллели (южной стороны рамки листа карты) отсчитывают по с юга на север и через полученные точки проводят прямую линию (параллель). Затем на северной и южной сторонах минутной рамки от меридиана (западной рамки листа карты) с долготой отсчитывают на восток по и через полученные точки проводят другую прямую линию (меридиан с долготой). В пересечении проведенных линий и будет находиться точка с заданными координатами.

Рассмотреть практически на примере. (2 — 3 точки — определить координаты, 2 — 3 точки нанести по заданным координатам).

Географическими координатами пользуются обычно при определении взаимного положения точек, удаленных друг от друга на весьма большие расстояния. Командиры подразделений чаще всего имеют дело с плоскими прямоугольными координатами.

Гранит и камень

Сеть координатных линий

Одним из важных элементов географической карты является сеть координатных линий, полученная при проецировании картографической поверхности Земли на плоскость. При изготовлении карты, сетка служит опорой для построения картографической проекции. При пользовании картой она позволяет упростить определение координат точек земного эллипсоида, наносить на карту точки по их координатам, измерять направление линий относительно сторон света, вычислять масштабы и искажения в любом месте карты, производить другие необходимые подсчеты и исчисления. Иными словами, координатная сетка позволяет работать не с полным изображением карты, а с конкретным ее участком, при этом линии сетки являются опорными границами для проведения замеров и расчетов. Благодаря этому, существенно упрощается использование карт и планов на практике. К самым распространенным сеткам (а на мелкомасштабных картах — единственно употребляемым) относится картографическая — изображение сети меридианов и параллелей. Ценность картографической сетки обусловлена глубоким географическим смыслом меридианов и параллелей. Меридианы соответствуют направлению «север — юг», параллели — направлению «запад — восток». Этими направлениями, которые могут быть определены на местности при помощи буссолей и компаса, пользуются для ориентирования при практической работе с картой.

На мелкомасштабных картах картографическая сетка представляет средство для широкого географического ориентирования, основу для разнообразных обобщений и выводов, вытекающих из широтной зональности в размещении многих природных явлений. Наконец, разность долгот пунктов выражает разность их временных поясов, т.е. временную разность в отдельных точках Земли.

При всех достоинствах географических сеток им свойствен один недостаток. Практические задачи — нанесение на карту точек по их географическим координатам или определение координат точек по карте, решаются с относительной простотой только на картах в цилиндрических проекциях, у которых меридианы и параллели образуют две системы взаимно перпендикулярных параллельных линий. В других проекциях с более сложными по виду картографическими сетками для решения указанных задач приходится прибегать к вспомогательным графическим построениям и вычислениям, осложняющим работу и не всегда выполнимым в полевых условиях. Между тем при использовании топографических карт для точного указания положения пунктов, передачи по карте расстояний, быстрого расчета направлений и расстояний и т. п. необходимы простые действия, которые могут быть обеспечены сеткой прямоугольных координат. Последняя показывается на современных топографических картах дополнительно к картографической сетке, а на некоторых картах (например, английских и финских) — взамен ее. С этой целью на земном эллипсоиде выбирают две системы линий, которые в проекции топографической карты изображаются сеткой квадратов. В проекции Гаусса-Крюгера осями такой сетки служат изображаемые прямолинейно осевой меридиан зоны и экватор.

В картографических сетках счет параллелей всегда ведут от экватора, счет меридианов — от начального меридиана, за который по международному соглашению 1884 г. принимают меридиан Гринвича, где находится старейшая астрономическая обсерватория Англии.

Благодаря картографической сетке все искажения, как бы велики они ни были, сами по себе не влияют на точность определения по карте географического положения (координат) изображаемых на ней объектов. В то же время картографическая сетка, являясь графическим выражением проекции, позволяет при измерениях по карте учитывать характер, величину и распределение искажений. Поэтому любая географическая карта представляет собой математически определенное изображение земной поверхности.

* * *

План, карта, ситуация и профиль

Главная ООО «Гранит»
Щебень и автодороги
Фундаменты
Характеристики щебня
Классификация пород
Дробилки
Основы и история геологии
Основы геодезии
Минералогия и минералы
Маркшейдерское дело

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X′X{\displaystyle X’X} и Y′Y{\displaystyle Y’Y}. Оси координат пересекаются в точке O{\displaystyle O}, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Рис. 1

Положение точки A{\displaystyle A} на плоскости определяется двумя координатами x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}. Координата x{\displaystyle x} равна длине отрезка OB{\displaystyle OB}, координата y{\displaystyle y} — длине отрезка OC{\displaystyle OC} в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{\displaystyle OB} и OC{\displaystyle OC} определяются линиями, проведёнными из точки A{\displaystyle A} параллельно осям Y′Y{\displaystyle Y’Y} и X′X{\displaystyle X’X} соответственно.

При этом координате x{\displaystyle x} приписывается знак минус, если точка B{\displaystyle B} лежит на луче OX′{\displaystyle OX’} (а не на луче OX{\displaystyle OX}, как на рисунке). Координате y{\displaystyle y} приписывается знак минус, если точка C{\displaystyle C} лежит на луче OY′{\displaystyle OY’}. Таким образом,OX′{\displaystyle OX’} и OY′{\displaystyle OY’} являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось X′X{\displaystyle X’X} называется осью абсцисс, а ось Y′Y{\displaystyle Y’Y} — осью ординат. Координата x{\displaystyle x} называется абсцисса точки A{\displaystyle A}, координата y{\displaystyle y} — ордината точки A{\displaystyle A}.

Символически это записывают так:

A(x,y){\displaystyle A(x,\;y)}

или

A=(x,y){\displaystyle A=(x,\;y)}

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

xA,xB{\displaystyle x_{A},x_{B}}

и т. д.

В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y′Y{\displaystyle Y’Y} вверх, ось X′X{\displaystyle X’X} смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X′X{\displaystyle X’X} и Y′Y{\displaystyle Y’Y}, называются координатными углами, четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).
- Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
- Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
- Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
- Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX{\displaystyle OX}, OY{\displaystyle OY} и OZ{\displaystyle OZ}. Оси координат пересекаются в точке O{\displaystyle O}, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. OX{\displaystyle OX} — ось абсцисс, OY{\displaystyle OY} — ось ординат, OZ{\displaystyle OZ} — ось аппликат.

Рис. 2

Положение точки A{\displaystyle A} в пространстве определяется тремя координатами x{\displaystyle x}, y{\displaystyle y} и z{\displaystyle z}. Координата x{\displaystyle x} равна длине отрезка OB{\displaystyle OB}, координата y{\displaystyle y} — длине отрезка OC{\displaystyle OC}, координата z{\displaystyle z} — длине отрезка OD{\displaystyle OD} в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{\displaystyle OB}, OC{\displaystyle OC} и OD{\displaystyle OD} определяются плоскостями, проведёнными из точки A{\displaystyle A} параллельно плоскостям YOZ{\displaystyle YOZ}, XOZ{\displaystyle XOZ} и XOY{\displaystyle XOY} соответственно.

Координата x{\displaystyle x} называется абсциссой точки A{\displaystyle A},

координата y{\displaystyle y} — ординатой точки A{\displaystyle A},

координата z{\displaystyle z} — аппликата точки A{\displaystyle A}.

Символически это записывают так:

A(x,y,z){\displaystyle A(x,\;y,\;z)}

или

A=(x,y,z){\displaystyle A=(x,\;y,\;z)}

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

xA,yA,zA{\displaystyle x_{A},\;y_{A},\;z_{A}}

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B{\displaystyle B} лежала не как на рисунке — на луче OX{\displaystyle OX}, а на его продолжении в обратную сторону от точки O{\displaystyle O} (на отрицательной части оси OX{\displaystyle OX}), то абсцисса x{\displaystyle x} точки A{\displaystyle A} была бы отрицательной (минус расстоянию OB{\displaystyle OB}). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX{\displaystyle OX} против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY{\displaystyle OY}, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ{\displaystyle OZ}).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.

Прямоугольные координаты вектора

Рис. 1

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца.

Таким образом, например, координаты (x,y){\displaystyle (x,y)} на рис.1 являются координатами вектора OA→{\displaystyle {\vec {OA}}}.

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

Сложение и умножение на скаляр:

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,…,an+bn){\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})}

или

(a+b)i=ai+bi,{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )_{i}=a_{i}+b_{i},}

c a=(c a1,c a2,c a3,…,c an){\displaystyle c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})}

или

(c a)i=c ai.{\displaystyle (c\ \mathbf {a} )_{i}=c\ a_{i}.}

а отсюда и вычитание и деление на скаляр:

a−b=(a1−b1,a2−b2,a3−b3,…,an−bn){\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})}

или

(a−b)i=ai−bi,{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} )_{i}=a_{i}-b_{i},}

aλ=(a1λ,a2λ,a3λ,…,anλ){\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big )}}

или

(aλ)i=aiλ.{\displaystyle {\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big )}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.}

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

Скалярное произведение:

a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}}

или

a⋅b=∑i=1naibi,{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}

(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора

|a|=a⋅a{\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}

и угол между векторами

∠(a,b)=arccosa⋅b|a|⋅|b|{\displaystyle \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}}

Внешнее произведение:

(a∧b)ij=aibj−ajbi{\displaystyle (\mathbf {a} \land \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}

для любой размерности пространства,

Векторное произведение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

(a×b)x=aybz−azby{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}}

(a×b)y=azbx−axbz{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}}

(a×b)z=axby−aybx{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}}

Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

Топографические карты в универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM Universal Transverse Mercator).

В данной проекции выполняются топографические карты США. Понятие и размеры зоны в проекции UTM такие же, как и в проекции Гаусса-Крюгера. Однако имеются и различия. В проекции UTM боковая поверхность цилиндра при создании карты пересекает поверхность зоны в двух точках, отстоящих от осевого меридиана на 180 000 метров. Вследствие этого масштаб на осевом меридиане отличен от единицы и составляет 0,9996, в точках же пересечения зоны с цилиндром масштаб равен 1. Впрочем, для практического применения это не очень существенно, так как измерения производятся по координатной сетке. Размеры квадратов координатной сетки могут быть приведены в дюймах, а расстояния в милях сухопутная или статутная миля равна 1609 метров.

По материалам книги Все о GPS-навигаторах. Найман В.С., Самойлов А.Е., Ильин Н.Р., Шейнис А.И.