Расчет расстояний между городами по их координатам

Содержание

[править] Введение

Длина дуги большого круга – кратчайшее расстояние между любыми двумя точками находящимися на поверхности сферы, измеренное вдоль линии соединяющей эти две точки (такая линия носит название ортодромии) и проходящей по поверхности сферы или другой поверхности вращения. Сферическая геометрия отличается от обычной Эвклидовой и уравнения расстояния также принимают другую форму. В Эвклидовой геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая линия. На сфере, прямых линий не бывает. Эти линии на сфере являются частью больших кругов – окружностей, центры которых совпадают с центром сферы.

Начальный азимут — азимут, взяв который при начале движения из точки А, следуя по большому кругу на кратчайшее расстояние до точки B, конечной точкой будет точка B. При движении из точки A в точку B по линии большого круга азимут из текущего положения на конечную точку B постоянно меняется. Начальный азимут , следуя которому, азимут из текущей точки на конечную не меняется, но маршрут следования не является кратчайшим расстоянием между двумя точками.

большой круг

Через любые две точки на поверхности сферы, если они не прямо противоположны друг другу (то есть не являются антиподами), можно провести уникальный большой круг. Две точки, разделяют большой круг на две дуги. Длина короткой дуги – кратчайшее расстояние между двумя точками. Между двумя точками-антиподами можно провести бесконечное количество больших кругов, но расстояние между ними будет одинаково на любом круге и равно половине окружности круга, или pi*R, где R – радиус сферы.

расстояние большого круга

На плоскости (в прямоугольной системе координат), большие круги и их фрагменты, как было упомянуто выше, представляют собой дуги во всех проекциях, кроме гномонической, где большие круги — прямые линии. На практике это означает, что самолеты и другой авиатранспорт всегда использует маршрут минимального расстояния между точками для экономии топлива, то есть полет осуществляется по расстоянию большого круга, на плоскости это выглядит как дуга.

Маршрут Нью-Йорк — Пекин

Форма Земли может быть описана как сфера, поэтому уравнения для вычисления расстояний на большом круге важны для вычисления кратчайшего расстояния между точками на поверхности Земли и часто используются в навигации.

Вычисление расстояния этим методом более эффективно и во многих случаях более точно, чем вычисление его для спроектированных координат (в прямоугольных системах координат), поскольку, во-первых, для этого не надо переводить географические координаты в прямоугольную систему координат (осуществлять проекционные преобразования) и, во-вторых, многие проекции, если неправильно выбраны, могу привести к значительным искажениям длин в силу особенностей проекционных искажений.

Известно, что более точно описывает форму Земли не сфера, а эллипсоид, однако в данной статье рассматривается вычисление расстояний именно на сфере, для вычислений используется сфера радиусом 6372795 метров, что может привести к ошибке вычисления расстояний порядка 0.5%.

Точка и прямая

Прежде чем говорить, как найти расстояние от прямой до точки, необходимо подробно рассмотреть, о каких элементах идет речь.

Известно, что в двумерном или трехмерном пространстве в геометрии для определения места расположения того или иного объекта вводится специальная система координат. Удобнее всего использовать прямоугольную декартову систему, которая представляет собой пересекающиеся под прямым углом оси (2 для плоскости и 3 для трехмерного пространства). На каждой из них существует шкала в выбранных единицах.

Точечный объект

Или просто точка. Это нульмерный объект, который в двумерном пространстве представляет собой набор двух координат, а в трехмерном — трех. Математически точка записывается так: A (x1; y1), где x1 — ее координата по оси x, y1 — по оси y. Для определения значения координат необходимо от точки провести перпендикуляр к соответствующей оси, их пересечение укажет на искомое значение. Примеры разных точек на плоскости и пространстве:

P (1; 0);
Q (2; 3; -1);
M (0; 0);
N (-2; -1; 3).

Точка P лежит на оси x, а M в начале координатной системы. Обе они заданы на плоскости, в отличие от Q и N, которые можно построить в пространстве. Также следует отметить, что у координатных осей имеется положительное и отрицательное направления, поэтому точки могут иметь отрицательные координаты.

Уравнения линии

Прямая линия является одним из самых распространенных объектов в геометрии. С помощью нее строятся многие симметричные фигуры, например, пирамида, призма, треугольник, прямоугольник (но не сфера). Прямая линия представляет собой бесконечный объект в одном направлении, и нульмерный в двух других, если речь идет об объемном пространстве.

Для выполнения математических операций с геометрическим элементом существуют разные виды уравнений, которые его задают. Среди них можно назвать:

общего типа;
векторное;
параметрическое;
в отрезках.

Чаще всего в задачах применяют первые 2 вида. Универсальным уравнением, которое можно с легкостью преобразовать в любые другие формы, является векторное. Задается для трехмерного случая оно следующим образом:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(vx; vy; vz).

Здесь (x; y; z) — координаты произвольной точки, которая принадлежит заданной прямой, (x0; y0; z0) — известная точка, лежащая на объекте, v (vx; vy; vz) — вектор, параллельно которому проходит прямая, он называется направляющим, α — произвольный числовой параметр, который может иметь положительные или отрицательные значения. Очевидно, что для плоского случая количество координат для каждого элемента будет равно двум.

Векторным уравнением удобно пользоваться, поскольку его легко преобразовать в параметрическое или в отрезках. В первом случае получается следующая система:

x = x0 + α*vx;
y = y0 + α*vy;
z = z0 + α*vz.

Для уравнения в отрезках получается такое равенство:

(x-x0)/vx = (y-y0)/vy = (z-z0)/vz.

Чтобы получить из векторной формы уравнение общего типа для случая на плоскости, достаточно написать выражение в отрезках, а затем из него выразить y через x. В итоге получается такой вид:

y = vy/vx*(x — x0) + y0.

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (х_А;у_А) и В(х_B;у_B).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; 8) и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (х_к; у_к). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (х_к; у_к), коор-ты можно вычислить так:

x = x_k — 8

y = y_k — 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = x_k — 8

-6 = y_k — 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = x_k — 8

x_k = 5 + 8 = 13

-6 = y_k — 15

y_k = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).

Расчеты

Приступаем к расчетам. Из открытых источников нам известно, что:

Средний радиус Земли R = 6371210 м.
Экваториальный радиус Земли R_Э = 6378,245 м.
Полярный радиус Земли R_П = 6356,830 м.

Я для расчетов взял средний радиус. Естественно нужно помнить, что земля все-таки не идеальная сфера, поэтому погрешность есть и в этих расчетах, но для нашей задачи это допустимая погрешность.

Я написал небольшой код для проверки вычислений, и для того, чтобы я мог взять числа и проверить их на реальных данных.

В коде я сразу установил константу расстояния, радиуса земли и принял решение все считать в метрах, поскольку данные я нашел в метрах и лень было разделить их на 1000, да и в метрах казалось, что точность немного выше, чем в километрах с округлением.

Суть этого кода в следующем. Мы не забываем перевести градусы координат в радианы, поскольку формула из википедии рассчитана на радианы. Мы вычисляем дельту ширины и долготы одинаково по одной и той же формуле, поскольку мы условились что у нас идеальный шар и эта погрешность нам допустима. С помощью формулы мы узнаем сколько градусов у нас в одном километре, а дальше простая пропорция.

1 градус — 63046.689652997775 метровX градусов — 200000 метров

Если 1 градус, соответствует 63046.689652997775 метров (для широты вычисленной из координаты), то 20000 метров соответсвует X. Дальше, как в школе учили, наискосок умножаем на оставшееся делим. И так как там у нас получается умножение на 1, то это действие можно упустить и записать как `DISTANCE / deltaLat`. Тоже самое проделываем для координаты долготы. На этих конкретных координатах получаются числа 0.31722522007226484 и 0.22583381380662185. По сути это и есть числа, готовые прибавляться к координатам, чтобы получить тот самый заветный квадрат.Теперь мы можем добавить эти числа в SQL запрос, чтобы посмотреть, что за выборка у нас получится:

Ну и в моей выборке оказалось 7 объектов. Конечно я взял эту выборку и проверил координаты с помощью линейки на Яндекс Картах. В моем случае все попали в радиус обозначенных 20км. Но мы же помним, что взяли квадрат, а не окружность для вычисления?! Я там даже схему нарисовал в начале, что за квадрат. Итак, если сделать окружность, внутри этого квадрата, она как раз будет радиусом примерно те же 20 км.

Я добавил картинку для наглядности. Видно, что если высота квадрата 40 км, и в нем окружность, то радиус ее тоже будет соответствовать 20 км. Остаются лишние области — углы квадрата, которые я закрасил зеленым. Это то что у нас может попасть в выборку, но они уже не соответствуют именно радиусу в 20 км. Т.е. это лишние данные. И вот тут приходит на помощь та самая формула, о которой я говорил в начале — Расчет расстояния между координатами. С помощью этой формулы можно сравнить исходную точку с координатами из выборки и отсечь те, что будут превышать те самые 20 км, поставленные в задаче.

Другая формула

Можно создать другое выражение, чтобы найти кратчайшее расстояние от точки до линии. Этот вывод также требует, чтобы линия не была вертикальной или горизонтальной.

Точка P задана координатами ( ). Уравнение линии задается формулой . Уравнение нормали этой линии , которая проходит через точку Р дается .
Икс,у{\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}узнак равномИкс+k{\ displaystyle y = mx + k}узнак равноИкс-Иксм+у{\ displaystyle y = {\ frac {x_ {0} -x} {m}} + y_ {0}}

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой к точке P. Следовательно:

мИкс+kзнак равноИкс-Иксм+у.{\ displaystyle mx + k = {\ frac {x_ {0} -x} {m}} + y_ {0}.}

Мы можем решить это уравнение относительно x ,

Иксзнак равноИкс+му-мkм2+1.{\ displaystyle x = {\ frac {x_ {0} + my_ {0} -mk} {m ^ {2} +1}}.}.

У координаты точки пересечения можно найти, подставив это значение х в уравнение исходной линии,

узнак равном(Икс+му-мk)м2+1+k.{\ displaystyle y = m {\ frac {(x_ {0} + my_ {0} -mk)} {m ^ {2} +1}} + k.}

Используя уравнение для нахождения расстояния между двумя точками, мы можем сделать вывод, что формула для нахождения кратчайшего расстояния между линией и точкой следующая:
dзнак равно(Икс2-Икс1)2+(Y2-Y1)2{\ displaystyle d = {\ sqrt {(X_ {2} -X_ {1}) ^ {2} + (Y_ {2} -Y_ {1}) ^ {2}}}}

dзнак равно(Икс+му-мkм2+1-Икс)2+(мИкс+му-мkм2+1+k-у)2знак равно|k+мИкс-у|1+м2.{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ left ({{\ frac {x_ {0} + my_ {0} -mk} {m ^ {2} +1}} — x_ {0}} \ right) ^ { 2} + \ left ({m {\ frac {x_ {0} + my_ {0} -mk} {m ^ {2} +1}} + k-y_ {0}} \ right) ^ {2}} } = {\ frac {| k + mx_ {0} -y_ {0} |} {\ sqrt {1 + m ^ {2}}}}.}.}

Вспоминая, что m = — a / b и k = — c / b для прямой с уравнением ax + by + c = 0, небольшое алгебраическое упрощение сводит это к стандартному выражению.

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение:

AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

— точки совпадают;

— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Расчет расстояния между координатами

Данный сервис позволяет рассчитать расстояние между двумя точками с известными географическими координатами.

Как известно, кратчайшим расстоянием между двумя точками на земной поверхности является длина дуги круга, проведенного на сфере по этим двум точкам. При расчете расстояния по географическим координатам делается предположение, что Земля не плоская, а круглая (если быть точнее, имеет форму, приближенную к сфере), то есть Земля — сфероид.

Для определения расстояния между двумя точками будет применяться формула расчета длины дуги, так называемая «модифицированная формула гаверсинусов».

Поскольку в расчете участвует радиус, а у Земли, как у не совсем правильной сферы, он разный, скажем на северном полюсе — 6335.437 км, а на экваторе — 6399.592 км. В связи с этим в расчете берется среднее значение радиуса Земли равное 6372.795 км, что позволяет получать результат с точность 99,5%.

В калькуляторе ниже для примера приводится расчет расстояния между координатами г.Москва и г.Санкт-Петербург.

Электронная таблица средствами 1С (Версия 2.0)

Функционал электронной таблицы для программ на платформе 1С реализован на основе табличных документов. Функционал реализован в виде обработки. Большую часть формы обработки занимают листы (закладки) с табличными документами, которые выполняет роль электронной таблицы. Листы могут быть добавлены, удалены или переименованы. Ограничение по количеству листов определяется возможностью платформы. В формулах электронной таблицы можно использовать любые языковые конструкции, процедуры и функции 1С, ссылки на другие ячейки электронной таблицы расположенные в том числе и на других листах. Допустимо обращаться к ячейкам электронной таблицы по имени именованной области. В случае использования в формулах электронной таблицы данных из самой таблицы пересчет зависимых ячеек с формулами производится автоматически. Электронную таблицу можно сохранить в файл.

1 стартмани

Обработка «Распознавание штрихкода с помощью утилиты Zbar» для Документооборот ред. 2 Промо

В связи с тем, что стандартный функционал программы «Документооборот» ред. 2.1 дает возможность распознавания штрихкодов только форма EAN-13, данная обработка — альтернативный способ для распознавания штрихкода в программе 1С: Документооборот ред. 2 с помощью утилиты Zbar, которая распознает в том числе и в формате Code 128 (один из стандартных штрихкодов кодирования документов, например, «Управление торговлей» ред. 11), а также с возможностью поэтапно проследить все действия от распознавания до прикрепления к документу или простой загрузки в каталоги файлов в базе 1С.

5 стартмани

Таблица расстояний между городами

Подготовится к поезде, проложить автомаршрут и рассчитать расход топлива на поездку между городами используя расчёт расстояний может каждый из вас. Калькулятор расстояний поможет понять, как доехать до нужной области, города, населённого пункта или страны мира по автомобильным дорогам. Рассчитать расстояние и рассчитать стоимость поездки по маршруту, а также определить расход топлива на 1 километр пути теперь очень просто. Вам нужно знать направление поездки, расход топлива вашего автомобиля и знать сколько сегодня стоит бензин дизель или газ. Расчёт расстояний онлайн показывает расход топлива на грузовом или легковом автомобиле, который потребуется для поездки по выбранному маршруту. Вам больше не потребуется атлас автомобильных дорог потому, что дорожные карты находится в нашем онлайн сервисе, который позволяет рассчитать маршрут и расстояние по автодорогам. Также, вам не придётся использовать устаревший курвиметр, линейки и прочие таблицы расстояний между городами. Наша программа, это калькулятор расстоянии, который прокладывает точный маршрут и помогает определить расход топлива на вашем ТС по автомобильным дорогам России, СНГ, Европы и Азии.

Кто использует расчёт расстояний между городами?

Всем людям, которые хотят рассчитать расстояние между городами и проложить маршрут. Карта и расстояние, это то что должен знать любой водитель перед тем, как отправится в междугородний или международный реис на автомобиле;
Любой человек, который поехал путешествовать на авто

Не важно один или с семьей. Он должен заранее рассчитать расстояние между городами, чтобы знать сколько топлива и денег потребуется на поездку в нужный город, населённый пункт или страну на карте мира;

Водители грузовиков и дальнобойщики, ежедневно используют расчет расстояний между городами, чтобы проложить маршрут по карте автодорог и рассчитать затраты на топливо, зная сколько топлива расходует их грузовой автомобиль;

Грузоотправитель и получатель груза должны всегда использовать калькулятор расстояний или таблицу расстояний

Расстояние между городами, километраж, маршрут, цена и расход топлива формируют ценообразование в грузоперевозках;

Все транспортные компании в сфере грузоперевозок, сначала считают расстояние между городами км. Потом свои затраты и расход топлива на грузовом автомобиле, после чего озвучивают заказчику тарифы на перевозку груза;

Калькулятор расхода топлива и расчет расстояний между городами позволит вам сравнить тарифы транспортных компании для понимания процессов грузовой логистики. Вы должны знать, как формируются цены отрасли перевозок;

Менеджер логист, экспедитор, автодиспетчер и АТИ специалисты должны знать расстояние между городами. Ежедневно они используют расчёт расстояний между городами мира планируя маршрут перевозки груза для своих заказчиков;

Расчет расстояний информирует людей о факторах влияющих на удорожание перевозки грузов. Расчёт расстояний позволяет развиться компаниям грузовой отрасли за счёт грамотной консультации клиентов о сроках доставки и маршрутах перевозки.

Расчёт расстояний и расход топлива просто незаменим при учёте финансовой составляющей маршрута. Всегда нужно понимать количество потраченного топлива, его цену и расходы планируя маршрут движения на авто. Расстояния между населёнными пунктами мира складываются из дорожных участков автодорог на основе Яндекс карты и Гугл карты с корректировкой на спутниковые снимки.

Формула расчета расстояния по координатам

Пусть и являются географическими широтой и долготой двух точек 1 и 2, и — их абсолютная разность. Тогда , центральный угол между ними, определяется теоремой сферических косинусов:

Формула расстояние d т.е.длины дуги, для сферы радиуса R и приведены в радианах

Больше матиматики …

На компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой, эта формула может иметь большие ошибки округления, если расстояние не большое (если две точки находятся в 1 км друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла выходит 0,99999999). Для современных 64-разрядных чисел с плавающей запятой, формула Теоремы косинусов, которая приведенна выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний более нескольких метров на поверхности Земли. Эта формула лучше подходит для вычисления растояние по координатам на небольшые расстояния

Для получения более точных рузультатов на большых расстояниях стараются исполтзовать формулу посложнее, в которой сделано предположение, что сфера является эллипсоидом с одинаковыми большой и малой осями.

Более подробную информацию о выведении формулы расчета расстояния по координатам читайте здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Great_circle_distance

Комментарии:

Способы определения расстояния

В первую очередь необходимо понять, что называется дистанцией между точкой и прямой линией. Пусть имеется прямая a и точка A. Если из нульмерного объекта провести отрезок к прямой так, чтобы ее он пересекал под прямым углом в некоторой точке A1, то AA1 будет называться перпендикуляром к a. Согласно определению, расстояние от точки до прямой равно длине перпендикулярного отрезка, опущенного из нульмерного объекта к одномерному.

Из геометрических представлений понятно, что длина AA1 будет наименьшей среди всех возможных отрезков, которые можно провести от A к a.

Применение векторных выражений

После получения представлений, что понимают под дистанцией между геометрическими объектами, в докладе можно переходить к рассмотрению первого универсального способа решения этой задачи.

Пусть имеется прямая, заданная в векторной форме в двумерном пространстве: (x; y) = (x0; y0) + α*(vx; vy).

В этой же координатной системе задана точка P (x1; y1). В первую очередь необходимо найти вектор u (ux; uy), который будет перпендикулярен направляющему v (vx; vy). Сделать это несложно, если вспомнить, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. В итоге получается следующее выражение:

(u*v) = 0 = vx*ux + vy*uy =>

ux = -vy*uy/vx.

Подставляя в это равенство произвольное значение uy, можно получить координату ux. Если одна из координат вектора v равна нулю, например, vx=0, тогда uy=0 для любых значений ux отличных от 0.

Зная координаты направляющего вектора u для перпендикуляра, можно построить для него векторное уравнение прямой, которая будет проходить через P:

(x; y) = (x1; y1) + β *(ux; uy).

Теперь необходимо найти точку пересечения обеих прямых. Для этого можно выразить y через x для каждой из них, а затем, решить систему из двух линейных уравнений. Например, получилась точка Q (x2; y2).

Для решения задачи остается сделать последний шаг: найти длину отрезка, заключенного между точками P и Q. Искомая формула имеет вид:

PQ = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^0,5.

Описанный способ определения дистанции от прямой до точки можно использовать для задач на плоскости. Дело в том, что в трехмерном пространстве существует бесконечное количество перпендикуляров заданной прямой, поэтому для трехмерного случая придется вводить еще одно условие на поиск перпендикулярного отрезка: он должен лежать в плоскости, проходящей через заданные прямую и точку. Этот факт усложняет решение задачи.

Использование формулы

Применение известной формулы для решения геометрических проблем является самым простым способом. Пусть имеется некоторая прямая, которая в векторной форме задается так:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(vx; vy; vz).

Известна также точка P (x1; y1; z1). Теперь следует выбрать произвольную точку на прямой, пусть это будет Q (x2; y2; z2). Следует отметить, что координаты Q удовлетворяют векторному уравнению заданной прямой. Далее, нужно построить вектор PQ, его координаты определяются так:

PQ = (x2-x1; y2-y1; z2-z1).

После этого следует рассмотреть параллелограмм, который однозначно может быть построен на векторах PQ и v (vx; vy; vz) — направляющий отрезок заданной прямой линии (для наглядности фигуру можно изобразить на рисунке). Известно, что площадь параллелограмма может быть определена двумя способами:

Произведение основания на опущенную на него высоту: S = |v|*h, где |v| — длина вектора v (основание параллелограмма), h — длина опущенного из P перпендикуляра к основанию v.
Модуль векторного произведения задающих фигуру направленных отрезков: S = ||.

Поскольку оба выражения используются для нахождения одной и той же площади S, их можно приравнять и выразить высоту h:

h = | |/ |v|.

Поскольку высота параллелограмма является искомой дистанцией d от точки P до заданной в задаче прямой, получается следующая простая формула:

d = ||/ |v|.

Вычисление векторного произведения проще всего выполнять с помощью матрицы и алгебраического дополнения (стандартная операция вычисления определителя). Удобство полученной формулы заключается в ее универсальности, то есть она применима как для трехмерного пространства, так и для случая на плоскости. Для двумерной задачи в координатной форме выражение примет вид:

d = ((x2-x1)*vy+(y2-y1)*vx)/ (vx 2 + vy 2 )^0,5.

Это выражение является несколько громоздким, поэтому рекомендуется запомнить только его векторную форму.

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

— если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

— если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.

— если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA

— если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник АВС является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=2+2=

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=2+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+2=xB-xA

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Расстояние между двумя точками на прямой

Пусть заданы на оси OX точки A с координатой x_a и B с координатой x_b (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.

Расстояние между точками A и В равно:

Поскольку расстояние от O до В равна x_b, а расстояние от O до A равна x_a, получим:

На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:

Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:

На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.

B этом случае рассояние между точками A и B равно:

Координаты точек A и B отрицательны. Тогда , то (5) можно записать так:

Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).

Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:

Пример 1. на оси Ox заданы точки \( \small A(x_a)=A(-4) \) и \( \small B(x_b)=B(7) \) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):

Ответ: 11.

Векторная формулировка

Иллюстрация векторной формулировки.

Уравнение прямой можно представить в векторной форме:

Иксзнак равноа+тп{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {a} + т \ mathbf {n}}

Здесь a — точка на линии, а n — единичный вектор в направлении линии. Тогда , как скаляр т изменяется, х дает геометрическую линию.

Расстояние от произвольной точки p до этой прямой определяется выражением

расстояние⁡(Иксзнак равноа+тп,п)знак равно‖(п-а)-((п-а)⋅п)п‖.{\ Displaystyle \ OperatorName {расстояние} (\ mathbf {x} = \ mathbf {a} + t \ mathbf {n}, \ mathbf {p}) = \ | (\ mathbf {p} — \ mathbf {a}) — ((\ mathbf {p} — \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} \ |.}

Эта формула может быть получена следующим образом: — вектор из точки a в точку p . Тогда это проектируемая длина на линию, и поэтому
п-а{\ displaystyle \ mathbf {p} — \ mathbf {a}}(п-а)⋅п{\ displaystyle (\ mathbf {p} — \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}}

а+((п-а)⋅п)п{\ Displaystyle \ mathbf {a} + ((\ mathbf {p} — \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n}}

представляет собой вектор , который является проекцией из на линии и представляет собой точку на линии , ближайшей к . Таким образом
п-а{\ displaystyle \ mathbf {p} — \ mathbf {a}}п{\ displaystyle \ mathbf {p}}

(п-а)-((п-а)⋅п)п{\ displaystyle (\ mathbf {p} — \ mathbf {a}) — ((\ mathbf {p} — \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n}}

— составляющая перпендикуляра к прямой. Тогда расстояние от точки до линии будет просто нормой этого вектора. Эта более общая формула не ограничивается двумя измерениями.
п-а{\ displaystyle \ mathbf {p} — \ mathbf {a}}

Определение координат середины отрезка

Пусть построен вектор АВ, причем известны коор-ты его начала А (х_А; у_А) и его конца B (х_B; у_B). Обозначим буквой С середину отрезка АВ и попытаемся вычислить коор-ты С, которые мы обозначим как (х_C; у_C):

Рассмотрим вектора АС и СВ. Они имеют одинаковую длину, потому что С разбивает АВ пополам. Также АС и СВ коллинеарны, так как они лежат на одной прямой АВ. При этом они и сонаправлены, а значит, эти вектора равны:

Нам удалось выразить коор-ты С через координаты А и В. В итоге можно сформулировать правило:

Например, пусть необходимо найти координаты середины отрезка HK, при этом известны коор-ты его концов: Н(5; – 2) и К(3; 4). Сначала найдем полусумму коор-т х и получим эту же коор-ту у середины:

Итак, точка середины отрезка имеет коор-ты (4; 1). Для наглядности построим отрезок ОК и продемонстрируем, что его середина действительно находится в точке (4; 1):